ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЕ

- обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка, не разрешенное относительно производной, но линейное относительно независимой переменной и неизвестной функции:

Это уравнение названо по имени Ж. Лагранжа (J. Lagrange, 1759, см. [1]); уравнение (1) исследовал также Ж. Д'Аламбер (J. D'Alembert), и потому оно иногда наз. уравнением Д'Аламбера. Частным случаем Л. у. является Клеро уравнение. Л. у. всегда разрешимо в квадратурах методом введения параметра (методом дифференцирования). Пусть, напр., уравнение (1) приводится к виду

Вводя параметр р=у' и взяв полный дифференциал от обеих частей равенства (2), с учетом соотношения приходят к линейному уравнению 1-го порядка

Если x=Ф( р, С) - решение этого уравнения (где С - произвольная постоянная), то решение уравнения (2) записывается в параметрич. виде

Если p₀ - изолированный корень уравнения то - также решение уравнения (2); это решение может оказаться особым.

Лит.:[1] L a gr a n g e J. L., CEuvres, t. 1 , P., 1867, p. 23- 36; [2] С т е п а н о в В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959. Н. X. Розов.